已知a，b，c都是實數(shù)，證明ac＜0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件．
考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系,必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：利用韋達定理和根與系數(shù)的關系先判斷出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要條件的定義得到結論．
解答： 解：證明：若ac＜0成立，則關于x的方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4ac＞0，且兩根之積
c
a
＜0，
故關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根成立，即充分性成立．
反之，若關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根成立，則兩根之積
c
a
＜0，
∴ac＜0成立，即必要性成立．
綜上可得，ac＜0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用以及一元二次方程的根與系數(shù)的關系，本題解題的關鍵是正確應用根與系數(shù)的關系來說明根的情況，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

桌面上有形狀大小相同的白球、紅球、黃球各3個，相同顏色的球不加以區(qū)分，將此9個球排成一排共有
 
 種不同的排法．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程．
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=
3
，AB=2BC=2，AC⊥FB． 
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長2正三角形，側棱與底面垂直，且長為
3
，D是AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求直線1C與平面ABB1A1所成角的正弦值；
（3）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（2x-1）=4x2-2x，x∈（-
1
2
，2），求函數(shù)f（x）的解析式，定義域及值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤
1
6
，|z|≤
1
9
，求證：|x+2y-3z|≤
5
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=
π
3
，b=5，△ABC的面積為10
3
．
（1）求a，c的值；  
（2）求sin（A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時f（x）=x-x2，求函數(shù)f（x）的解析式并作圖指出其單調(diào)區(qū)間．

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