已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程．
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍．
考點：橢圓的應用
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2
，求出幾何量，即可求橢圓的標準方程．
（Ⅱ）利用數(shù)量積公式求出
PF1
•
PA
，結(jié)合-2≤x≤2，即可求
PF1
•
PA
的取值范圍．
解答： 解：（I）由題意，∵|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

∴c=1，a=2，
∴b=
3
，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1   …（4分）
（II）設P（x0，y0），則
∵A（-2，0），F(xiàn)1（-1，0），
∴
PF1
•
PA
=（-1-x0）（-2-x0）+y02=
1
4
x2+3x+5，
由橢圓方程得-2≤x≤2，二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=-6＜-2
當x=-2時，取最小值0，
當x=2時，取最大值12．
∴
PF1
•
PA
的取值范圍是[0，12]…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列結(jié)論錯誤的是（　�。�
A、命題：“若x2-3x+2=0，則x=2”的逆否命題為：“若x≠2，則x2-3x+2≠0”
B、若p且q為假命題，則p、q均為假命題
C、“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要條件
D、命題：“存在x為實數(shù)，x2-x＞0”的否定是“任意x是實數(shù)，x2-x≤0”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若AB=BC=2EF=2，BD與平面BCF成30°的角，求二面角F-BD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈（0，2）直線l1：ax-2y-2a+4=0與直線l2：2x+a2y-2a2-4=0與坐標軸圍成一個四邊形，求此四邊形面積的最小值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b、c為△ABC的三邊，
（1）acosA=bcosB，判斷△ABC的形狀； 
（2）△ABC的面積為12
3
，bc=48，b-c=2，求a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點P是平行四邊形ABCD外一點，Q是PA的中點，求證：PC∥平面BQD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線C1，C2都是以原點O為對稱中心，坐標軸為對稱軸、離心率相等的橢圓，點M的坐標是（0，1），線段MN是曲線C1的短軸，并且是曲線C2的長軸，直線l：y=m（0＜m＜1）與曲線C1交于A，D兩點（A在D的左側(cè)），與曲線C2交于B，C兩點（B在C的左側(cè)）．
（1）當m=
3
2
，|AC|=
5
4
時，求橢圓C1，C2的方程；
（2）當OC⊥AN，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c都是實數(shù)，證明ac＜0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的余弦公式，有
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①-②得 cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ
令 α+β=A，α-β=B，有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
代入③得cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的正弦公式，證明：sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

（2）若在△ABC的三個內(nèi)角A，B，C，滿足在cos2A-cos2B=1-cos2C試判斷△ABC的形狀．（提示：如需要可直接利用或參閱結(jié)論）

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