Question

14．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），討論關(guān)于t的函數(shù)y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）g（t）=f（1），利用配方法，分類討論，即可得出關(guān)于t的函數(shù)y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，e^x≥ax+2-cosx，x∈[0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用當(dāng)a≤0時(shí)，t′（x）≤0，即可求a的范圍．

解答 解：（1）g（t）=f（1）=e²+（1-2t）e+t²=（t-e）²+e，
∴m＜e，y_min=g（m）=（m-e）²+e；m≥e，y_min=g（e）=e；
（2）f（x）≥ax+2-cosx，可化為f（x）=（e^x-t）²+e^x≥ax+2-cosx
∴e^x≥ax+2-cosx，x∈[0，+∞）恒成立
令t（x）=ax+2-e^x-cosx≤0，x∈[0，+∞）恒成立
∵t′（x）=-e^x+sinx+a，
當(dāng)a≤0時(shí)，t′（x）≤0，∴t（x）在[0，+∞）是減函數(shù)，
∴t（x）_max=t（0）=0，
∴t（x）≤0，成立．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最小值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．