Question

8．已知f（x）=tan（2x-bπ）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），若|b|＜$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)正切函數(shù)的對稱性求出b，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由2x-bπ=$\frac{kπ}{2}$得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$，
即函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$，0）
∵f（x）=tan（2x-bπ）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），
∴$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$=$\frac{π}{3}$，
即$\frac{k}{4}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{3}$，即b=$\frac{2}{3}$-$\frac{k}{2}$，
若|b|＜$\frac{1}{2}$，
則-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$-$\frac{k}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
得$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{7}{3}$，即k=1，
若k=1，則b=$\frac{1}{6}$，
即f（x）=tan（2x-bπ）=tan（2x-$\frac{π}{6}$），
則函數(shù)的周期T=$\frac{π}{2}$，
由kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$），k∈Z．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握正切函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．