Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）試比較（

2013

2014

）²⁰¹⁴與

1

e

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，得f′（x）≥0恒成立，即x+1-a≥0恒成立，問題得以解決．
（2）利用分析和綜合法，原題轉(zhuǎn)化為ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

與0的大小關(guān)系，根據(jù)（1）可知f（

1

2013

）＞f（0）=0，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

，
則f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

，
∵f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴x+1-a≥0恒成立，
∴a≤1+x，
∴a≤1，
所以a的取值范圍為（0，1]．
（2）要比較（

2013

2014

）²⁰¹⁴與

1

e

的大�。�等價(jià)于比較(

2014

2013

)2014與e的大小
因函數(shù)y=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，等價(jià)于比較2014ln

2014

2013

與1的大小
等價(jià)于ln

2014

2013

與

1

2014

的大小，即ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

與0的大小
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
而

1

2013

＞0，則f（

1

2013

）＞f（0）=0，
令x=

1

2013

得f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0，
即（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

．

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題，屬于中檔題．