已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
ax
x+1
(a>0).
(1)實數(shù)a為何值時,使得f(x)在(0,+∞)內單調遞增;
(2)試比較(
2013
2014
2014
1
e
的大。
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)先求導,再根據(jù)f(x)在(0,+∞)內單調遞增,得f′(x)≥0恒成立,即x+1-a≥0恒成立,問題得以解決.
(2)利用分析和綜合法,原題轉化為ln(1+
1
2013
)-
1
2013+1
與0的大小關系,根據(jù)(1)可知f(
1
2013
)>f(0)=0,問題得以解決.
解答: 解:(1)∵f(x)=ln(1+x)-
ax
x+1
,
則f′(x)=
x+1-a
(x+1)2
,
∵f(x)在(0,+∞)內單調遞增,
∴f′(x)≥0恒成立,
∴x+1-a≥0恒成立,
∴a≤1+x,
∴a≤1,
所以a的取值范圍為(0,1].
(2)要比較(
2013
2014
2014
1
e
的大。葍r于比較(
2014
2013
)2014
與e的大小
因函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上是增函數(shù),等價于比較2014ln
2014
2013
與1的大小
等價于ln
2014
2013
1
2014
的大小,即ln(1+
1
2013
)-
1
2013+1
與0的大小
由(1)知f(x)=ln(1+x)-
x
x+1
在(0,+∞)內單調遞增,
1
2013
>0,則f(
1
2013
)>f(0)=0,
令x=
1
2013
得f(
1
2013
)=ln(1+
1
2013
)-
1
2013+1
>0,
即(
2013
2014
2014
1
e
點評:本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調區(qū)間,考查函數(shù)單調性的性質,構造函數(shù)求解證明不等式問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某班聯(lián)歡晚會玩投球游戲,規(guī)則如下:每人最多可連續(xù)投5只球,累積有三次投中即可獲獎;否則不獲獎.同時要求在以下兩種情況下中止投球:①已獲獎;②累積3次沒有投中目標.已知某同學每次投中目標的概率是常數(shù)p(p>0.5),且投完3次就中止投擲的概率為
1
3
,設游戲結束時,該同學投出的球數(shù)為X.
(1)求p的值;
(2)求X的分布列和數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且滿足cosA=
3
5
,
AB
AC
=3.
(1)求△ABC中的面積;   
(2)若c=1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點A(-2,0),B(2,0),動點C、D依次滿足|
AC
|=2,
AD
=
1
2
AB
+
AC
).
(1)求動點D的軌跡方程;
(2)過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點,若線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為
4
5
,且直線l與圓
x2+y2=1相切,求該橢圓的方程;
(3)經(jīng)過(2)中橢圓的上頂點G作直線m、n,使m⊥n,直線m、n分別交橢圓于點P、Q.求證:PQ必過y軸上一定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖在邊長為a的正方形ABCD中,E、F分別為邊BC、CD中點,設
AE
=
α
AF
=
β

(1)試用
α
、
β
表示向量
AB
、
AD
;
(2)求向量
α
β
夾角的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=
2
,設
AB
=
a
AD
=
b
,
AA1
=
c

(1)試用
a
,
b
,
c
表示向量
AC
BD1
;
(2)若∠A1AD=∠A1AB=120°,求直線AC與BD1所成的角.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx=1},若B?A,求由實數(shù)m所構成的集合M.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

從4名男生和3名女生中任選3人參加演講比賽,
①求所選3人都是男生的概率;
②求所選3人中至少有1名男生1名女生的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,則|z1+z2|=
 

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