Question

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[π]=3，[-4.3]=-5．給出下列命題：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有[x]-x≤0；
②若x₁≤x₂，則[x₁]≤[x₂]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，則y=[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)閧-1，0}．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：直接利用定義判斷①②的正誤；利用對(duì)數(shù)值以及新定義求解判斷③的正誤；先由題意先化簡函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，通過f（x）與f（-x）的值域討論，求出f（x）]+[f（-x）]的值，判斷④的正誤．

解答： 解：對(duì)于①，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有[x]-x≤0，滿足新定義∴①正確．
對(duì)于②，x₁≤x₂，則[x₁]≤[x₂]，∴②正確．
對(duì)于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=0+1×90+2=92，∴③不正確．
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

∈(-

1

2

，

1

2

)，
同理可得，f（-x）∈（-

1

2

，

1

2

），
當(dāng)f（x）∈(-

1

2

，0)時(shí)，f（-x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
同理當(dāng)f（-x）∈(-

1

2

，0)時(shí)，f（x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
當(dāng)f（x）=0時(shí)，f（-x）=0，∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=0，
綜上，y=[f（x）]+[f（-x）]={-1，0}
∴④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷，反例法以及新定義的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域．