Question

若在（x+1）⁴（ax-1）²的展開式中x的系數(shù)是6，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：方法一、運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，分析x的系數(shù)，注意一個(gè)取一次項(xiàng)，一個(gè)取常數(shù)項(xiàng)，列方程解出即可；
方法二、分別運(yùn)用通項(xiàng)公式，再將它們相乘，令x的指數(shù)為1，討論r，m的取值，相加即可．

解答： 解法一、∵（x+1）⁴=x⁴+4x³+6x²+4x+1，
（ax-1）²=a²x²-2ax+1，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展開式中x的系數(shù)為：4-2a，
又∵x的系數(shù)是6，
∴4-2a=6，
∴a=-1，
解法二、∵（x+1）⁴的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r 4

x^4-r，其中r=0，1，2，3，4，
（ax-1）²的通項(xiàng)公式是T_m+1=

C

m 2

（ax）^2-m•（-1）^m，其中m=0，1，2，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展開式通項(xiàng)為：

C

r 4

•

C

m 2

•a2-m•(-1)m•x6-r-m，
∵要求展開式中x的系數(shù)，可令6-r-m=1，即r+m=5，
∴

r=4 m=1

或

r=3 m=2

，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展開式中x的系數(shù)為：

C

4 4

•

C

1 2

•a•(-1)+

C

3 4

•

C

2 2

=4-2a，
又（x+1）⁴（ax-1）²的展開式中x的系數(shù)是6，
∴4-2a=6，∴a=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，注意某項(xiàng)的 系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別．