【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA=2 ,∠PDC=120°,點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AB上. (Ⅰ)若AF= ,求證:CD⊥EF;
(Ⅱ)設(shè)平面DEF與平面DPA所成二面角的平面角為θ,試確定點(diǎn)F的位置,使得cosθ=

【答案】證明:(Ⅰ)在△PCD中,PD=CD=2, ∵E為PC的中點(diǎn),∴DE平分∠PDC,∠PDE=60°,
∴在Rt△PDE中,DE=PDcos60°=1,
過(guò)E作EH⊥CD于H,則 ,連結(jié)FH,

,∴四邊形AFHD是矩形,
∴CD⊥FH,又CD⊥EH,F(xiàn)H∩EH=H,∴CD⊥平面EFH,
又EF平面EFH,∴CD⊥EF.
解:(Ⅱ)∵AD=PD=2, ,∴AD⊥PD,又AD⊥DC,
∴AD⊥平面PCD,
又AD平面ABCD,∴平面PCD⊥平面ABCD.
過(guò)D作DG⊥DC交PC于點(diǎn)G,則由平面PCD⊥平面ABCD知,DG⊥平面ABCD,
故DA,DC,DG兩兩垂直,以D為原點(diǎn),以DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), ,
又知E為PC的中點(diǎn),E ,設(shè)F(2,t,0),
, ,
設(shè)平面DEF的法向量為 =(x1 , y1 , z1),
,∴ ,
取z1=﹣2,得平面DEF的一個(gè)法向量
設(shè)平面ADP的法向量為 =(x2 , y2 , z2),
,∴ ,
取z2=1,得
,解得 ,
∴當(dāng) 時(shí),滿足
【解析】(Ⅰ)過(guò)E作EH⊥CD于H,連結(jié)FH,推導(dǎo)出四邊形AFHD是矩形,由此能證明CD⊥EF.(Ⅱ)過(guò)D作DG⊥DC交PC于點(diǎn)G,以D為原點(diǎn),以DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xz,利用向量法能求出當(dāng) 時(shí),滿足
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.p是真命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)>0
D.p是真命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0

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(1)試求受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線;

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