Question

7．設定義R上在函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$（a，b，m，n為常數(shù)，且a≠0）的圖象不間斷．
（1）求m，n的值；
（2）設a，b互為相反數(shù)，且f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a=1，b∈R，試討論函數(shù)g（x）=f（x）+b的零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得圖象過（0，1），（4，0），代入計算可得m，n；
（2）求出f（x）的解析式，判斷各段的單調(diào)性，運用導數(shù)，結合恒成立思想，即可得到所求范圍；
（3）求出f（x）的解析式，由函數(shù)g（x）=f（x）+b的零點的個數(shù)即為f（x）=-b的解的個數(shù)，討論b的范圍，分b＜-1，b=-1，-1＜b＜0，b=0，b＞0，結合f（x）的圖象特點，即可得到零點的個數(shù)．

解答 解：（1）由題意可得x=0，y=1；x=4，y=0．
即有n=1，64a+16（b-4a）-4（4b+m）+n=0，
解得m=$\frac{1}{4}$，n=1；
（2）由題意可得b=-a，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}-5a{x}^{2}-（\frac{1}{4}-4a）x+1，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$，
由x＜0時，f（x）=2^-x遞減，
即有f（x）在R上遞減．
則x＞4時，f（x）=a（log₄x-1）遞減，即有a＜0；
當0≤x≤4，f（x）的導數(shù)為f′（x）=3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a），
即有3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a）≤0在[0，4]恒成立，
由a＜0，設g（x）=3ax²-10ax-（$\frac{1}{4}$-4a）的對稱軸為x=$\frac{5}{3}$∈[0，4]，
g（0）=4a-$\frac{1}{4}$＜0，g（4）=48a-40a-$\frac{1}{4}$+4a=12a-$\frac{1}{4}$＜0，
只要g（$\frac{5}{3}$）≤0，即有$\frac{-12a（\frac{1}{4}-4a）-100{a}^{2}}{12a}$≤0，
解得-$\frac{3}{52}$≤a＜0．
則a的取值范圍是[-$\frac{3}{52}$，0）；
（3）由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{{x}^{3}+（b-4）{x}^{2}-（4b+\frac{1}{4}）x+1，0≤x≤4}\\{lo{g}_{4}x-1，x＞4}\end{array}\right.$，
由函數(shù)g（x）=f（x）+b的零點的個數(shù)即為
f（x）=-b的解的個數(shù)，
討論當b＜-1時，-b＞1，x＜0時，有一解；x＞4時，有一解；
0≤x≤4時，在x軸上方，函數(shù)先增后減，即有2解．共有4解；
當b=-1時，-b=1，x＜0時，無解；x＞4時，有一解；
0≤x≤4時，在x軸上方，函數(shù)先增后減，即有2解．共有3解；
當-1＜b＜0時，0＜-b＜1，x＜0時，無解；x＞4時，有一解；
0≤x≤4時，在x軸上方，函數(shù)先增后減，即有1解．共有2解；
當b=0時，-b=0，x＜0時，無解；x＞4時，無解；
0≤x≤4時，在x軸上，有2解．共有2解；
當b＞0時，-b＜0，x＜0，x＞4，均無解；在x軸下方，
函數(shù)先減后增，均有2解，共有2解．
綜上可得，b＜-1時，g（x）有4個零點；
b=-1，g（x）有3個零點；
b＞-1，g（x）有2個零點．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)的零點個數(shù)的求法，注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．