Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，垂足為A．如果△APF是邊長為4的正三角形，則此拋物線的焦點坐標為

 

，點P的橫坐標x_P=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件推導出p=2，且P點的縱坐標y_P=2

3

，由此能求出拋物線的焦點坐標和點P的橫坐標．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，
P為拋物線上一點，PA⊥l，垂足為A．
根據(jù)拋物線的定義P點到準線的距離=|PF|，又PF=PA，
所以|PA|就是P點到準線的距離，即PA垂直于l，
∵△APF是邊長為4的正三角形，
∴F到準線l的距離為2，即p=2，A到x軸的距離為2

3

，
∴拋物線的焦點坐標為（1，0），
則P點的縱坐標y_P=2

3

，
∴（2

3

）²=2•2•x_P，
解得x_P=3．
故答案為：（1，0），3．

點評：本題考查拋物線的焦點坐標的求法，考查點P的橫坐標的求法，是中檔題，解題時要注意拋物線的簡單性質的合理運用．