Question

已知向量

a

=（2sin（ωx+

2π

3

），2），

b

=（2cosωx，0）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的圖象與直線y=-2+

3

的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=2cos（2ωx+

π

6

）+

3

，依題意知T=π，于是可求ω的值；
（Ⅱ）由x∈[0，2π]時(shí)⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

25π

6

]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4sin（ωx+

2π

3

）cosωx
=4[sinωx•（-

1

2

）+cosωx•

3

2

]cosωx
=2

3

cos²ωx-2sinωxcosωx
=

3

（1+cos2ωx）-sin2ωx
=2cos（2ωx+

π

6

）+

3

，
由題意，T=π，ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，ω=1．
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+

π

6

）+

3

，
∴x∈[0，2π]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

25π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[π，2π]或2x+

π

6

∈[3π，4π]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
解得x∈[

5π

12

，

11π

12

]或[

17π

12

，

123π

12

]，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

5π

12

，

11π

12

]和[

17π

12

，

123π

12

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．