Question

直線l過點（1，1），交x軸，y軸的正半軸分別于A，B，過A，B作直線3x+y+3=0的垂線，垂足分別為C，D．
（1）當(dāng)AB∥CD時，求CD中點M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)|CD|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）直接設(shè)截距式方程，代入點的坐標(biāo)，和AB∥CD斜率相等的條件，可確定方程，設(shè)出AB的中點N，求出MN的方程與CD的方程聯(lián)立解得點M的坐標(biāo)；
（2）利用點到直線的距離公式表示出|CD|，利用基本不等式求解即可

解答： 解：依題意，設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，
∵點（1，1）在AB上，∴

1

a

+

1

b

=1，①
（1）當(dāng)AB∥CD時，則可得k_AB=-3，
即-

b

a

=-3∴b=3a
結(jié)合①解得a=

4

3

，b=4
設(shè)AB的中點為N，則N（

1

3

，2）．
又∵AC，BD⊥垂直于CD，M是CD的中點∴MN⊥CD，
從而直線MN的方程為y=

1

3

（x-

2

3

）+2
與方程3x+y+3=0聯(lián)立，
可解得M（-

43

30

，

13

10

）
（2）∵AC，BD⊥垂直于直線y=-3x-3，
∴直線AC的方程為y=

1

3

（x-a），即x-3y-a=0，
且點B到直線AC的距離就等于|CD|，
故得|CD|=

|-3b-a|

1+32

=

a+3b

10

（

1

a

+

1

b

）
=

1

10

(4+

3b

a

+

a

b

)≥

1

10

(4+2

3

)
當(dāng)且僅當(dāng)

a= 3 b 1 a + 1 b =1

即

a=1+ 3 b=1+ 3 3

等號成立
因此，所求的直線l的方程為x+

3

y-

3

-1=0．

點評：本題主要考查了直線的截距式方程應(yīng)用，直線平行和垂直的性質(zhì)，以及距離公式和基本不等式的綜合應(yīng)用．屬于難題．