Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)Sn=n-5an-85，n∈N*，再寫一式S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，兩式相減，即可證得{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而可求得S_n；

解答： （1）證明：∵Sn=n-5an-85，n∈N*（1）
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85（2），
由（2）-（1）可得：a_n+1=1-5（a_n+1-a_n），即：a_n+1-1=

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（a_n-1），
從而{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）由Sn=n-5an-85，n∈N*可得：a₁=S₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∵數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)a₁-1=-15，公比為

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，
∴通項(xiàng)公式為a_n-1=-15•(

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)n-1，從而a_n=-15•(

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)n-1+1，
∴Sn=n+75•(

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)n-1-90．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式的運(yùn)用，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的求和，屬于中檔題．