Question

已知函數(shù)f（x）=ln

a+x

1-x

為奇函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，求解函數(shù)的定義域，根據(jù)該函數(shù)為奇函數(shù)，從而得到該函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而確定待求a的取值情況；
（2）首先，給出結(jié)論，然后，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行求證即可．

解答： 解：（1）由f（x）=ln

a+x

1-x

，得

a+x

1-x

＞0，
∴（x+a）（x-1）＜0；
∵f（x）為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴a=1，
此時(shí)x∈（-1，1），f（-x）=ln

1-x

1+x

=ln（

1+x

1-x

）^-1
=-ln

1+x

1-x

=-f（x），故a=1符合題意．
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=ln

1+x1

1-x1

-ln

1+x2

1-x2

=ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=ln 

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2+x2-x1

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴（1+x₁）（1-x₂）＞0，（1-x₁）（1+x₂）＞0，x₁-x₂＜0
∴0＜

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2+x2-x1

＜1，
故ln

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2+x2-x1

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、奇函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)運(yùn)用等知識(shí)，屬于中檔題，切實(shí)注意對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其運(yùn)用．