Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），右焦點(diǎn)到直線l：x=

a2

a2-b2

的距離為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M為直線l上一點(diǎn)，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P，求

|PM|

|AP|

的取值范圍；
（3）設(shè)橢圓C另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂，在橢圓上是否存在一點(diǎn)T，使得

1

|TF1|

，

1

|F1F2|

，

1

|TF2|

 成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出c=2，

a2

c

=6+2，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，由已知條件推導(dǎo)出

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，由此能求出

PM

AP

的取值范圍．
（3）由已知條件推導(dǎo)出|TF₁|•|TF₂|=16，結(jié)合|TF₁|+|TF₂|=8，得|TF₁|=|TF₂|=4．由此能求出存在T（0，2

3

）或T（0，-2

3

）滿足題意．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），
右焦點(diǎn)到直線l：x=

a2

a2-b2

的距離為6，
∴c=2，

a2

c

=6+2，
解得a²=16，b2 =12，
∴所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（4分）
（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，
則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，
∴

PM

AP

的取值范圍是[

1

2

，+∞）．…（9分）
（3）|F₁F₂|=2c=4，|TF₁|+|TF₂|=2a=8，…（10分）

1

|TF1|

，

1

|F1F2|

，

1

|TF2|

成等差數(shù)列，
即

2

|F1F2|

=

1

|TF1|

+

1

|TF2|

，可化為：

|F1F2|

2

=

|TF1|•|TF2|

|TF1|+|TF2|

，
∴|TF₁|•|TF₂|=16，結(jié)合|TF₁|+|TF₂|=8，
解得：|TF₁|=|TF₂|=4．…（12分）
由對(duì)稱性知T只能是短軸端點(diǎn)（0，2

3

），（0，-2

3

），
經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)滿足|TF₁|=|TF₂|=4．
∴存在T（0，2

3

）或T（0，-2

3

）滿足題意．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩條線段的比值的取值范圍的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列知識(shí)的合理運(yùn)用．