Question

已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求直線AE和平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進(jìn)而得到EF∥BG，再結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）根據(jù)已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點(diǎn)，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（Ⅲ）建立坐標(biāo)系，求出平面BCDE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AE和平面BCDE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，
∵F，G分別是AD，AC的中點(diǎn) 
∴FG∥CD，且FG=

1

2

DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF?面ABC，BG?面ABC
∴EF∥面ABC；
（Ⅱ）證明：∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC，
∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC；
（Ⅲ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，

1

2

，0），E（1，0，1），B（1，0，0），C（0，-

1

2

，0）
∴

AE

=（1，-

1

2

，1），

BC

=（-1，-

1

2

，0），

BE

=（0，0，1）
設(shè)平面BCDE的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x- y 2 =0 z=0

，故取

n

=（1，-2，0）
∴直線AE和平面BCDE所成角的正弦值為|

1+1

1+ 1 4 +1 • 5

|=

4 5

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，線面角，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．