Question

已知函數(shù)f（x）=（2

3

tan2x+1）cos2x+1-2sin²x，x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）在[0，

π

2

]的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）-m≥0對(duì)于任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得其單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）中的解析式，根據(jù)x的范圍求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立，求得m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（2

3

tan2x+1）cos2x+1-2sin²x
=2

3

six2x+cos2x+cos2x
=2

3

sin2x+2cos2x
=4sin（2x+

π

6

），
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∵當(dāng)

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

時(shí)，即0≤x≤

π

6

時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，

π

6

]．
∵當(dāng)

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，即

π

6

≤x≤

π

2

，函數(shù)單調(diào)減，
∴遞減區(qū)間為[

π

6

，

π

2

]．
綜上，f（x）在[0，

π

2

]的遞增區(qū)間為[0，

π

6

]，遞減區(qū)間為[

π

6

，

π

2

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函數(shù)在區(qū)間[0，

π

2

]，f（x）_min=4sin

7π

6

=-4sin

π

6

=-2，
∵f（x）-m≥0恒成立，
∴f（x）≥m恒成立，
∴m≤-2，所以實(shí)數(shù)m的最大值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．