Question

（理）由曲線y=

x

，y=2-x，y=-

1

3

x圍成圖形的面積為

 

．
（文）若函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，且滿足

f(4)

f(2)

=3，則f（

1

2

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，可得積分區(qū)間，再利用定積分求面積即可；
設(shè)f（x）=x^α，利用

f(4)

f(2)

=3，可得2^α=3，即可求出f（

1

2

）．

解答： 解：由曲線y=

x

，y=2-x，可得A的橫坐標(biāo)為1，由y=2-x，y=-

1

3

x，可得B的橫坐標(biāo)為3．
∴所求面積為

∫

1 0

（

x

+

1

3

x）dx+

∫

3 1

（2-x+

1

3

x）dx=（

2

3

x

3

2

+

1

6

x2）

|

1 0

+（2x+

1

6

x2）

|

3 1

=

13

6

；
設(shè)f（x）=x^α，則
∵

f(4)

f(2)

=3，
∴

4α

2α

=2^α=3，
∴f（

1

2

）=2^-α=

1

3

．
故答案為：

13

6

；

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用定積分求面積，解題的關(guān)鍵是確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，屬于中檔題．