Question

數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1000，公比為

1

10

的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_k=

1

k

（（lga₁+lga₂+…lga_k）k∈N^*），
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值；
（2）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和S_n′．
（3）若λn≤S_n′對(duì)任意n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）易求an=104-n，于是得lga_n=4-n，即數(shù)列{lga_n}是首項(xiàng)為3，公差為-1的等差數(shù)列，依題意，即可求得b_n=

7-n

2

，從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值；
（2）由（1）當(dāng)n≤7時(shí)，b_n≥0，當(dāng)n＞7時(shí)，b_n＜0，于是分段討論即可求得數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和S_n′．
（3）只要λn≤

1

4

n2-

13

4

n+21

(n＞7)

恒成立，即λ≤

1

4

n+

21

n

-

13

4

，n∈(7，2

21

)，恒成立即可．通過(guò)研究其單調(diào)性可求得f(n)最小=

13

10

，從而可得答案．

解答： 解：（1）由題意：an=104-n，∴l(xiāng)ga_n=4-n，
∴數(shù)列{lga_n}是首項(xiàng)為3，公差為-1的等差數(shù)列，
∴lga1+lga2+…+lgak=3k-

k(k-1)

2

，∴bn=

1

n

[3n-

n(n-1)

2

]=

7-n

2

，
由

bn≥0 bn+1≤0

，得6≤n≤7，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值為S6=S7=

21

2

…（4分）
（2）由（1）當(dāng)n≤7時(shí)，b_n≥0，當(dāng)n＞7時(shí)，b_n＜0，
∴當(dāng)n≤7時(shí)，Sn′=b1+b2+…+bn=(

3+ 7-n 2

2

)n=-

1

4

n2+

13

4

n
當(dāng)n＞7時(shí)，Sn′=b1+b2+…+b7-b8-b9-…-bn=2S7-(b1+b2+…+bn)=

1

4

n2-

13

4

n+21
∴Sn′=

- 1 4 n2+ 13 4 n(n≤7) 1 4 n2- 13 4 n+21(n＞7)

…（8分）
（3）只要λn≤

1

4

n2-

13

4

n+21

(n＞7)

恒成立，即λ≤

1

4

n+

21

n

-

13

4

（n＞7）恒成立，
又n∈(7，2

21

)時(shí)f(n)=

1

4

n+

21

n

-

13

4

遞減，n∈(2

21

，+∞)時(shí)f(n)=

1

4

n+

21

n

-

13

4

遞增，
9＜2

21

＜10，f(9)=

4

3

，f(10)=

13

10

，
∴f(n)最小=

13

10

，∴λ≤

13

10

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定及求和公式的應(yīng)用，突出考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查分類討論思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．