Question

7．已知m，n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，求${m^2}+\frac{n^2}{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）化絕對值函數(shù)為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3x-m+n，x≤-m\\-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}\\ 3x+m-n，x≥\frac{n}{2}\end{array}\right.$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值即可；
（2）由基本不等式可得$（{m^2}+\frac{n^2}{4}）=\frac{1}{2}.2（{m^2}+\frac{n^2}{4}）≥\frac{1}{2}{（m+\frac{n}{4}）^2}=2$．

解答 解：（1）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3x-m+n，x≤-m\\-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}\\ 3x+m-n，x≥\frac{n}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在$（-∞，\frac{n}{2}）$是減函數(shù)，在$（\frac{n}{2}，+∞）$是增函數(shù)；
∴當(dāng)x=$\frac{n}{2}$時(shí)，f（x）取最小值$f（\frac{n}{2}）$=$m+\frac{n}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）的最小值為$m+\frac{n}{2}$，
∴$m+\frac{n}{2}$=2，∵m，n∈R⁺，
$（{m^2}+\frac{n^2}{4}）=\frac{1}{2}.2（{m^2}+\frac{n^2}{4}）≥\frac{1}{2}{（m+\frac{n}{4}）^2}=2$，
（當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{n}{2}$，即m=1，n=2時(shí)，取等號），
∴${m^2}+\frac{n^2}{4}$的最小值為2．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值函數(shù)的與分段函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用．