Question

17．在直角坐標(biāo)系中，已知M（2，1）和直線L：x-y=0，試在直線L上找一點(diǎn)P，在X軸上找一點(diǎn)Q，使三角形MPQ的周長(zhǎng)最小，最小值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作出M（2，1）關(guān)于直線L：x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)N（1，2），作出M（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（2，-1），連結(jié)MN，交直線L于P，交x軸于E，從而得到三角形MPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小值為|NE|．

解答 解：如圖，作出M（2，1）關(guān)于直線L：x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)N（1，2），
作出M（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（2，-1），
連結(jié)MN，交直線L于P，交x軸于E，
∵M(jìn)P=PN，MQ=QE，∴三角形MPQ的周長(zhǎng)為線段NE的長(zhǎng)，
由兩點(diǎn)間線段最短得此時(shí)三角形MPQ的周長(zhǎng)最小，
∴三角形MPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小值為：
|NE|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形周長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．