Question

如圖，一個半徑為1的球O放在桌面上，桌面上的一點A1的正上方有一光源A，AA1與球相切，AA1=3，球在桌面上的投影是一個橢圓C，記橢圓C的四個頂點分別為A1、A2、B1、B2．則對于下列的命題：

①若點P為橢圓C上的一個動點，則tan∠OAP=；

②橢圓C的長軸長為4；

③若沿直線B1B2的方向為主視方向，則幾何體A﹣A1B1A2B2的左視圖的面積為3；

④橢圓C的離心率為

其中真命題的序號為 ．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：根據(jù)題意作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA1的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，可得球與長軸A1A2的切點是橢圓的焦點F，運用切線長定理，求出AE，AD，即可判斷①；②由二倍角的正切公式，以及正切函數(shù)的定義，即可得到長軸長；求出a，c，b，即可得到幾何體A﹣A1B1A2B2的左視圖的面積為×3×2=3，即可判斷③；由橢圓的離心率公式，即可判斷④．

解如圖是過錐體的軸與橢圓長軸A1A2的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，

可得球與長軸A1A2的切點是橢圓的焦點F，OE=OF=1，A1E=A1F=1，AA1=3，

AE=2，AD=2，

對于①，tan∠OAP=tan∠OAD==，故①對；

對于②，tan∠A1AA2=tan2∠OAD==，

A1A2=AA1•tan∠A1AA2=3×=4，故②對；

對于③由于2a=4，a=2，a﹣c=1，c=1，b2=a2﹣c2=3，b=，

若沿直線B1B2的方向為主視方向，則幾何體A﹣A1B1A2B2的左視圖的面積為×3×2=3，故③錯；

對于④橢圓C的離心率為e==，故④對．

故答案為：①②④．