Question

【題目】拋物線的焦點F為圓C：的圓心．

求拋物線的方程與其準線方程；

直線l與圓C相切，交拋物線于A，B兩點；

若線段AB中點的縱坐標為，求直線l的方程；

求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ,；（2）或；②

【解析】

（1）由圓C：配方可得：，可得圓心可得拋物線的焦點因此，解得，即可得出．

（2）設(shè)直線的方程為：，，由直線與圓相切，可得：，或直線與拋物線聯(lián)立，化為：，進而得到，或，根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)中點坐標公式即可求出m的值，可得直線方程，利用數(shù)量積運算性質(zhì)，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解：（1）由圓 配方可得：，可得圓心．

拋物線的焦點．

，解得．

拋物線的準線方程為：．

拋物線的方程為

（2）設(shè)直線的方程為：，，

直線與圓相切，

，化為：．

，或．

聯(lián)立，化為：，

．

，或．

即，解得或

所以可得的范圍為或

，．

線段中點的縱坐標為，

，

，

，

解得或，

故直線的方程為或

②

.

設(shè) ，或

當時，單調(diào)遞增，，

當時，單調(diào)遞減，

．

的取值范圍是．