Question

為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=

16 8-x -1 ，   0 ≤ x ≤ 4  5- 1 2 x ，     4＜x ≤ 10

．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天？
（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（1≤a≤4）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：

2

取1.4）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知可得：一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度f(x)=4y=

64 8-x -4 ，   0 ≤ x ≤ 4  20-2x ，     4＜x ≤ 10

，分類討論解出f（x）≥4即可；
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x≤10）天，可得濃度g（x）=2(5-

1

2

x)+a[

16

8-(x-6)

-1]，變形利用基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）∵一次噴灑4個單位的凈化劑，
∴濃度f(x)=4y=

64 8-x -4 ，   0 ≤ x ≤ 4  20-2x ，     4＜x ≤ 10

則當(dāng)0≤x≤4時，由

64

8-x

-4 ≥ 4，
解得x≥0，∴此時0≤x≤4．
當(dāng)4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，
∴此時4＜x≤8．
綜合得0≤x≤8，
若一次投放4個單位的制劑，則有效凈化時間可達(dá)8天．
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x≤10）天，
濃度g(x)=2(5-

1

2

x)+a[

16

8-(x-6)

-1]=10-x+

16a

14-x

-a=(14-x)+

16a

14-x

-a-4．
∵14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
∴4

a

∈[4 ，  8]，
故當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4

a

時，y有最小值為8

a

-a-4．
令8

a

-a-4 ≥ 4，
解得24-16

2

 ≤ a ≤ 4，
∴a的最小值為24-16

2

≈1.6．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的意義與性質(zhì)、基本不等式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決實(shí)際問題的能力，屬于難題．