Question

5．已知（1+2x）^m的展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是45．
（1）求m的值；
（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由（1+2x）^m的展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是${C}_{m}^{m-2}$=45，求得m的值．
（2）由m=10可得（1+2x）^m的展開式共有11項(xiàng)，故第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，再根據(jù)通項(xiàng)公式得出結(jié)論．
（3）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得r的值，可得系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）由（1+2x）^m的展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是${C}_{m}^{m-2}$=45，
即${C}_{m}^{2}$=45，求得m=10．
（2）由m=10可得（1+2x）^m的展開式共有11項(xiàng)，故第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為T₆=${C}_{10}^{5}$•2⁵•x⁵．
（3）（1+2x）¹⁰的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{4}$，故可取r=7，即系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)，為T₈=${C}_{10}^{7}$•2⁷x⁷．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．