Question

如圖J11­2①所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AE⊥DC，AB＝AE＝DC，F為EC的中點(diǎn)．現(xiàn)將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如圖J11­2②所示，且平面PAE⊥平面ABCE.

(1)求證：平面PAF⊥平面PBE；

(2)求三棱錐A­PBC與三棱錐E­BPF的體積之比．

圖J11­2

Answer 1

解：(1)證明：連接BF，∵EF∥AB，且AB＝EF＝CD，

∴四邊形AEFB為平行四邊形．

又∵AE＝AB，且AE⊥DC，

∴四邊形AEFB為正方形，∴AF⊥BE.

∵平面PAE⊥平面ABCE，且平面PAE∩平面ABCE＝AE，PE⊥AE，

∴PE⊥平面ABCE.又AF⊂平面ABCE，∴PE⊥AF.

又∵BE∩PE＝E，∴AF⊥平面PBE.

又∵AF⊂平面PAF，∴平面PAF⊥平面PBE.

(2)不妨設(shè)AB＝4，

則V_{三棱錐A  ­  PBC}＝V_{三棱錐P ­ ABC}＝××4×4×4＝，

V_{三棱錐E ­ BPF}＝V_{三棱錐P ­ EBF}＝××4×4×4＝.

故所求兩個三棱錐的體積之比為1∶1.