Question

已知圓A：（x+2

2

）²+y²=64，動圓M過點B（2

2

，0），且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡為曲線C
（1）求C的方程；
（2）點P是曲線C上橫坐標(biāo)大于2的動點，點D，E在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PDE，求△PDE面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）圓心A（-2

2

，0），半徑r₁=8，動圓M的圓心為M（x，y），半徑為r₂，依題意有r₂=|MB|，從而推導(dǎo)出點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），（2＜x₀≤4），D（0，m），E（0，n），設(shè)m＞n，直線PD的方程為（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，又（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，(x0-2)x2+2y0x-x0=0．由此能求出△PDE的面積的最小值．

解答： 解：（1）圓A：（x+2

2

）²+y²=64的圓心A（-2

2

，0），半徑r₁=8，
動圓M的圓心為M（x，y），半徑為r₂，
依題意有r₂=|MB|，
由|MB|=4

2

，知點B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，
∴|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=8，
∴點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
由2a=8，2c=4

2

，得a=4，c=2

2

，b²=16-8=8，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

8

=1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），（2＜x₀≤4），D（0，m），E（0，n），設(shè)m＞n，
直線PD的方程為y-m=

y0-m

x0

x，
即（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，
又圓心（1，0）到直線PD的距離為1，即

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1，
x₀＞2，化簡，得：
（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理(x0-2)x2+2y0x-x0=0．
∴m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩個根，
∴m+n=-

2y0

x0-2

，mn=-

x0

x0-2

，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
又∵

x02

16

+

y02

8

=1，∴2y02=16-x02，
∴（m-n）²=

2x02-8x0+32

(x0-2)2

，
設(shè)△PDE的面積為S，
則S2-

1

4

(m-n)2x0   2=

x02-4x0+16

2(x0-2)2

x02=

(x0-2)2+12

2(x0-2)2

x02，
令x₀-2=t，（0＜t≤2），則x₀=t+2，
記f（t）=

(t2+12)(t+2)2

2t2

，
則f′(t)=

(t-2)(t2-24)

t3

＜0，∴f（t）在（0，2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)t=2，即x₀=4時，f（t）_min=f（2）=32，∴Smin=4

2

，
∴△PDE的面積的最小值為4

2

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．