Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列
（l）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2an=an+an2-an-1-an-12，從而得到{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n=n．
（2）由b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
對(duì)任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，
∴2Sn=an+an2，2Sn-1=an-1+an-12，
兩式相減，得2an=an+an2-an-1-an-12，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又a_n，a_n-1為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=a1+a12，得a₁=1，或a₁=0（舍），
∴a_n=n．
（2）b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．