Question

已知點F是橢圓C的右焦點，A，B是橢圓短軸的兩個端點，且△ABF是正三角形，
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）直線l與以AB為直徑的圓O相切，并且被橢圓C截得的弦長的最大值為2

3

，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c，由△ABF是正三角形，得a=2b，b=

1

2

a，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，所以橢圓方程為x²+4y²=4b²，設(shè)直線l與橢圓C的交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若直線l與x軸垂直，則弦長|MN|=

3

b，當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)其方程為y=kx+m，與x²+4y²=4b²聯(lián)立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-b²）=0，由此利用韋達定理、直線與圓相切性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出橢圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c，
∵△ABF是正三角形，∴a=2b，b=

1

2

a，
又∵a²=b²+c²，∴c=

3

2

a，
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓方程為x²+4y²=4b²，
設(shè)直線l與橢圓C的交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
若直線l與x軸垂直，則弦長|MN|=

3

b，
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)其方程為y=kx+m，
與x²+4y²=4b²聯(lián)立，整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-b²）=0，（*）
則x₁，x₂是方程（*）的兩個根，∴

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4(m2-b2) 1+4k2

，
∴|MN|²=（

1+k2

|x1-x2|）²=（1+k²）[（-

8km

1+4k2

）²-4•

4(m2-b2)

1+4k2

]
=

16(1+k2)

(1+4k2)2

(b2-m2+4k2b2)，①
∵直線l與圓O相切，∴b=

|m|

1+k2

，解得m²=b²（1+k²），
代入①得|MN|²=16b2•

3k2(1+k2)

(1+4k2)2

≤16•

( 3k2+1+k2 2 )2

(1+4k2)2

•b²=4b²，
當(dāng)且僅當(dāng)3k²=1+k²，k=±

2

2

時，等號成立．
∴此時|MN|_max=2b，于是弦長|MN|的最大值為2b=2

3

，
∴b=

3

，a=2

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．