Question

在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于點D,△ABC的垂心為H,且=.

(1)求點H(x,y)的軌跡G的方程；
(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲線G上的一點,那么,,能成等差數列嗎?若能,求出M點的坐標；若不能,請說明理由.

Answer 1

(1) G的方程為+=1(y≠0).(2)見解析

(1)∵H點坐標為(x,y),則D點坐標為(x,0),
由定比分點坐標公式可知,A點的坐標為(x,y).
∴=(x+2,y),=(x－2,y).
由BH⊥CA知x²－4+y²=0,即+ =1,
∴G的方程為+=1(y≠0).
(2)解法一:顯然P、Q恰好為G的兩個焦點,
∴||+||=4,||=2.
若,,成等差數列,則+==1.
∴||·||="|" |+||=4.
由可得||=||=2,
∴M點為+=1的短軸端點.
∴當M點的坐標為(0, )或(0,－)時,,,成等差數列.
解法二:設M點的坐標為(x,y),
顯然P、Q恰好為+ =1的兩個焦點,
∴||+||="4,|" |=2.
∵,,成等差數列,
∴+==1.
由橢圓第二定義可得||=a+ex,||=a－ex,
∴+=1.解得x=0.
∴M點的坐標為(0, )或(0,－).
∴當M點的坐標為(0, )或(0,－)時,,,成等差數列.