Question

在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于點(diǎn)D,△ABC的垂心為H,且=.

(1)求點(diǎn)H(x,y)的軌跡G的方程；
(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲線G上的一點(diǎn),那么,,能成等差數(shù)列嗎?若能,求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) G的方程為+=1(y≠0).(2)見(jiàn)解析

(1)∵H點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).
∴=(x+2,y),=(x－2,y).
由BH⊥CA知x²－4+y²=0,即+ =1,
∴G的方程為+=1(y≠0).
(2)解法一:顯然P、Q恰好為G的兩個(gè)焦點(diǎn),
∴||+||=4,||=2.
若,,成等差數(shù)列,則+==1.
∴||·||="|" |+||=4.
由可得||=||=2,
∴M點(diǎn)為+=1的短軸端點(diǎn).
∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－)時(shí),,,成等差數(shù)列.
解法二:設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
顯然P、Q恰好為+ =1的兩個(gè)焦點(diǎn),
∴||+||="4,|" |=2.
∵,,成等差數(shù)列,
∴+==1.
由橢圓第二定義可得||=a+ex,||=a－ex,
∴+=1.解得x=0.
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－).
∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－)時(shí),,,成等差數(shù)列.