Question

6．設(shè)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，可得k=1，
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，從而可證f（x）在R上單調(diào)遞增，故原不等式化為x²+2x＞4-x，從而可求不等式的解集；
（3）根據(jù)f（1）=$\frac{3}{2}$，確定a=2的值，從而可得函數(shù)g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，可得t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，令h（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2（t≥$\frac{3}{2}$），運用二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-$\frac{1}{a}$＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+$\frac{lna}{{a}^{x}}$，
∵a＞1，∴l(xiāng)na＞0，而a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
原不等式化為：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2（t≥$\frac{3}{2}$），
當t=2＞$\frac{3}{2}$，即x=log₂（1+$\sqrt{2}$）時，h（t）取得最小值-2，
即有g(shù)（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為-2．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查解不等式，考查二次函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定參數(shù)的范圍．