Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=1-x²，若函數(shù)g（x）=log₅x，則h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（0，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，可得函數(shù)的周期，作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x），
∴（1+x）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是2，
由h（x）=f（x）-g（x）=0，得f（x）=g（x），
分別作出函數(shù)y=f（x），和y=g（x）的圖象如圖：
當(dāng)g（x）=log₅x=1，解得x=5，
則由圖象可知區(qū)間（0，5]內(nèi)，兩個函數(shù)有4個不同的交點(diǎn)，
即h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（0，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)是4個，
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)f（x）的周期性是解決本題的關(guān)鍵，將條件轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解決函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題的基本方法．主要使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．