Question

已知：a，b，c分別是銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量

a

=(sinA，2

3

sinA)，

b

=(2cosA，sinA)，設(shè)f（x）=

a

•

b

，
（1）若f(A)=2

3

，求角A；
（2）在（1）的條件下，若

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，a=2，求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出f（x）的表達(dá)式，然后利用f(A)=2

3

，即可求角A；
（2）利用同角的三角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出三角形ABC中對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系即可求出三角形的面積．

解答： 解：（1）∵量

a

=(sinA，2

3

sinA)，

b

=(2cosA，sinA)，設(shè)f（x）=

a

•

b

，
∴f(x)=2sinAcosA+2

3

sin2A=sin2A-

3

cos2A+

3

=2sin(2A-

π

3

)+

3

，
若f(x)=2

3

，
則sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

或

2π

3

，
即A=

π

3

或A=

π

2

（舍去）．
（2）由

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，
則

bcosB

sinB

+

ccosC

sinC

=

2acosA

sinA

，
∴cosB+cosC=2cosA=1，
又∵B+C=

2π

3

，
∴B=C=

π

3

，
∴三角形ABC是等邊三角形，
∵a=2，
∴三角形ABC的面積

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角關(guān)系式的化簡(jiǎn)和計(jì)算，利用平面向量數(shù)量積的定義求出函數(shù)f（x）是解決本題的關(guān)鍵，考學(xué)生的計(jì)算能力．