Question

已知拋物線C：y²=12x，點(diǎn)M（-1，0），過(guò)M的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求證：直線A′B過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，可求直線l的斜率；
（Ⅱ）求出直線A′B的方程，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上，即可證明直線A′B過(guò)定點(diǎn)．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線方程為y=k（x+1），
由 

y=k(x+1) y2=12x

得k²x²+（2k²-12）x+k²=0．…（2分）
因?yàn)閗²≠0，且△=（2k²-12）²-4k⁴=144-48k²＞0，
所以，k∈(-

3

，0)∪(0，

3

)．…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

12-2k2

k2

，x₁x₂=1．…（5分）
因?yàn)榫�段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，所以

x1+x2

2

=

6-k2

k2

=2，…（6分）
解得k=±

2

，符合題意．…（7分）
（Ⅱ）證明：依題意A'（x₁，-y₁），直線A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，…（8分）
又 

y

2 1

=12x1，

y

2 2

=12x2，
所以y=

12

y2-y1

(x-x2)+y2，…（9分）=

12

y2-y1

x-

y1y2

y2-y1

…（10分）
因?yàn)?span id="fb5vjnz" class="MathJye">

y

2 1

y

2 2

=144x1x2=144，且y₁，y₂同號(hào)，所以

y

1

y

2

=12，…（11分）
所以y=

12

y2-y1

(x-1)，…（12分）
所以，直線A'B恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．