Question

設數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an-1

（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的前n項和為（　　）

• A、

  2n

  n+1

• B、

  n

  n+1

• C、

  n

  2(n+1)

• D、

  n

  (n+1)(n+2)

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件，利用累加法求出數(shù)列{a_n}中，a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1=2+2+2+3+…+n=1+

n(n+1)

2

，所以b_n=

1

an-1

=2•

1

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n-a_n-1=n，
a_n-1-a_n-2=n-1，
…
a₃-a₂=3，
a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+2+2+3+…+n
=1+

n(n+1)

2

，
∴b_n=

1

an-1

=2•

1

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為：
Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．
故選：A．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法和裂項示求和法的合理運用．