Question

4．已知定義域?yàn)閇1，2]的函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，3），若g（x）=f（x）+f（x²），則函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇4，$\frac{11}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，3），代入可得實(shí)數(shù)a的值，再確定g（x）的定義域，最后根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域．

解答 解：∵f（x）=2+log_ax的圖象過(guò)點(diǎn)（2，3），
∴3=2+log_a2，即log_a2=1，解得a=2，
又∵g（x）=f（x）+f（x²）=4+3log₂x，且f（x）的定義域?yàn)閇1，2]，
∴g（x）的自變量x需滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{1≤x^2≤2}\end{array}\right.$，解得x∈[1，$\sqrt{2}$]，
又g（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（1）=4，g（x）_max=g（$\sqrt{2}$）=$\frac{11}{2}$，
因此，函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇4，$\frac{11}{2}$]，
故填：[4，$\frac{11}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式和定義域的求法，以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的值域，忽視g（x）的定義域是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．