Question

19．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函數(shù)定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下利用定義證明：f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分母不等0，求出x的范圍，可得函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）恒成立，代入特殊值，可得實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答 解：（1）由2^x-1≠0得：x≠0，
故函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-1}$的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，
則f（-1）=-f（1），
即$\frac{\frac{1}{2}+a}{\frac{1}{2}-1}$=-$\frac{2+a}{2-1}$，
解得：a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=1時(shí)，f（-x）=-f（x）恒成立，滿足f（x）為奇函數(shù)；
（3）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
則${2}^{{x}_{1}}-1$＜0，${2}^{{x}_{2}}-1＜0$，${2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{2（{2}^{{x}_{2}}-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．