Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左焦點為F（-3，0），過點F的直線與E相交于A，B兩點，若線段AB的中點為N（12，15），則E的方程為（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件求出直線AB：y=x+3，

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+3

，得（b²-a²）x²-6a²x-9a²-a²b²=0，由x_A+x_B=

6a2

b2-a2

=24，得到5a²=4b²，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：∵雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左焦點為F（-3，0），
過點F的直線與E相交于A，B兩點，線段AB的中點為N（12，15），
∴直線AB：

y

x+3

=

15

12+3

，整理，得：y=x+3，

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+3

，消去y，并整理，得（b²-a²）x²-6a²x-9a²-a²b²=0，
∴x_A+x_B=

6a2

b2-a2

=24，
解得5a²=4b²，
∵左焦點為F（-3，0），∴c=3，
∵c²=a²+b²，∴a²=4，b²=5，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1．
故選：B．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．