Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，短軸的端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與圓4x²+4y²=3相切，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)和b=

a2-c2

即可得出；
（2）當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)切線的方程為x=my+n．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得

|n|

1+m2

=

3

2

，再把切線方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|．當(dāng)斜率為0時(shí)，直接求出，再比較即可．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，短軸的端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

，
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）①當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)切線的方程為x=my+n．
則

|n|

1+m2

=

3

2

，化為4n²=3+3m²．
聯(lián)立

x=my+n x2+3y2=1

，化為（3+m²）y²+2mny+n²-3=0．
∴y1+y2=-

2mn

3+m2

，y1y2=

n2-3

3+m2

．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 4m2n2 (3+m2)2 - 4(n2-3) 3+m2 ]

=

2 (1+m2)(9+3m2-3n2)

3+m2

，
把n2=

3+3m2

4

代入上式可得|AB|=

3(1+ 4 m2+ 9 m2 +6 )

≤

3(1+ 4 6+6 )

=2，當(dāng)且僅當(dāng)m²=3時(shí)取等號(hào)．
②當(dāng)斜率為0時(shí)，不妨取xA=

3

2

，代入橢圓的方程可得

1

3

×(

3

2

)2+

y

2 A

=1，解得y_A=±

3

2

|AB|=

3

＜2．
綜上①②可知：|AB|的最大值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類討論思想方法、推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．