Question

已知{a_n}是一個(gè)公差小于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₇=-27，a₂+a₈=6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，在由所有前n項(xiàng)和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，哪一項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的兩個(gè)根，由此求出a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，能求出在由所有前n項(xiàng)和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，第5項(xiàng)或者第6項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是S₅=45或S₆=45．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為a．
由題可知，d＜0，
∵a₃a₇=-27，a₂+a₈=6，∴a₂+a₇=6，
∴a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的兩個(gè)根，
∵d＜0，解得a₃=9，a₇=-3，
所以d=

-3-9

7-3

=-3，a₁=15，
所以a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由（1）可知，S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)
=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，
所以當(dāng)n=5或n=6時(shí)，S_n取得最大值，最大值為S₅=S₆=45．
故在由所有前n項(xiàng)和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，
第5項(xiàng)或者第6項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是S₅=45或S₆=45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查在由所有前n項(xiàng)和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，哪一項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是多少的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．