【題目】如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m,現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F(xiàn).

(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲乙兩人之間的距離;
(2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且∠DEF= ,請(qǐng)將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.

【答案】
(1)解:由題意,BD=300,BE=100,

△ABC中,cosB= ,B=

△BDE中,由余弦定理可得DE= =100 m;


(2)解:由題意,EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ.

△CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycosθ

△BDE中,由正弦定理可得 = ,

∴y= = ,0 ,

∴θ= ,ymin=50 m.


【解析】(1)先在△ABC中求出B,再在△BDE中利用余弦定理可得DE,從而可得此時(shí)甲乙兩人之間的距離;(2)先在△CEF中求出CE,再在△BDE中利用正弦定理可得甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),進(jìn)而利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)可得甲乙之間的最小距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】數(shù)獨(dú)游戲越來(lái)越受人們喜愛(ài),今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨(dú)比賽,該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽,參賽學(xué)生的人數(shù)如表所示:

中學(xué)

人數(shù)

30

40

20

10

為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨(dú)水平,該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽學(xué)生中抽取30名參加問(wèn)卷調(diào)查.
(Ⅰ)問(wèn)甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生?
(Ⅱ)從參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求這2名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率;
(Ⅲ)在參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中,從來(lái)自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,用X表示抽得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù),求X的分布列.

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【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足2Sn=(an+2)bn , 其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 ,公比為﹣ 的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=n,a2=3,求證:數(shù)列{an}滿足an+an+2=2an+1 , 并寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)cn= , 求證:數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積.

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【題目】已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O

(1)若AB=2,BC=6,CD=4,AC=8,求BD

(2)若AC=,BC=+1,∠ADB=,求AD2+DC2的取值范圍

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【題目】已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣ ),x∈[0,π].
(1)若 ,求x的值;
(2)記f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

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【題目】已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為 ,且圓心M在直線l的下方.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(﹣4≤t≤﹣1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.

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【題目】空氣質(zhì)量問(wèn)題,全民關(guān)注,有需求就有研究,某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理,制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮,雖然霧炮不能徹底解決問(wèn)題,但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用,經(jīng)過(guò)測(cè)試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖:
若降塵率達(dá)到18%以上,則認(rèn)定霧炮除塵有效.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)霧炮除塵有效的概率;
(2)現(xiàn)把A市規(guī)劃成三個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域投放3臺(tái)霧炮進(jìn)行除塵(霧炮之間工作互不影響),若在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%,則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理,求后期投入費(fèi)用的分布列和期望.

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【題目】銳角△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且tanA﹣tanB= (1+tanAtanB).
(Ⅰ)若c2=a2+b2﹣ab,求角A、B、C的大;
(Ⅱ)已知向量 =(sinA,cosA), =(cosB,sinB),求|3 ﹣2 |的取值范圍.

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【題目】已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,函數(shù) 且f(A)=5.
(1)求角A的大。
(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

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