Question

根據下列條件求橢圓的標準方程：
（1）經過兩點A（0，2）和B（

1

2

，

3

）．
（2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為

4

3

5

和

2

3

5

，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設經過兩點A（0，2），B（

1

2

，

3

）的橢圓標準方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系數法能求出橢圓方程．
（2）設橢圓的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1，由題意知2a=|PF₁|+|PF₂|=2

5

，由此利用已知條件能求出橢圓的標準方程．

解答： 解：（1）設經過兩點A（0，2），B（

1

2

，

3

）．
的橢圓標準方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B得，

4n=1 1 4 m+3n=1

，解得m=1，n=

1

4

，
∴所求橢圓方程為x²+

y2

4

=1．
（2）設橢圓的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1，
則由題意知2a=|PF₁|+|PF₂|=2

5

，∴a=

5

．
在方程

x2

a2

+

y2

b2

=1中令x=±c，得|y|=

b2

a

，
在方程

y2

a2

+

x2

b2

=1中令y=±c，得|x|=

b2

a

b2

a

依題意并結合圖形知

b2

a

=

2

3

5

．∴b²=

10

3

．
∴橢圓的標準方程為

x2

5

+

3y2

10

=1或

y2

5

+

3x2

10

=1．

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓簡單性質的合理運用．