Question

9．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=\frac{{-{2^x}-b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0求得b，再驗證奇偶性；
（2）運用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域，由此得出參數(shù)的范圍．

解答 解：（1）因為f（x）為R上的奇函數(shù)，所以，f（0）=0，
解得b=-1，f（x）=$\frac{1-2^x}{{2}^{x+1}+2}$，驗證如下：
f（-x）+f（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1-2^x}{1+2^x}$]=0，
所以，f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)，
因此，b=-1；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{1}{2}$[$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為，x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以，f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）因為f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）∈[f（1），f（0）]=[-$\frac{1}{6}$，0]，
要使方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，
則m∈[-$\frac{1}{6}$，0]．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，方程有解問題的解法，屬于中檔題．