Question

14．已知方程x²+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則$\frac{b-3}{a-1}$的取值范圍為$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 由一元二次方程根的分布得到關于a，b的不等式組，畫出可行域，結合$\frac{b-3}{a-1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點M（1，3）連線的斜率得答案．

解答 解：令f（x）=x²+ax+2b，
由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=a+2b+1＜0}\\{f（2）=2a+2b+4＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$畫出可行域如圖，
A（-1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-3，1），
$\frac{b-3}{a-1}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點M（1，3）連線的斜率，
∵${k}_{MA}=\frac{3}{2}，{k}_{MB}=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{b-3}{a-1}$的取值范圍為$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．
故答案為：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

點評 本題一元二次方程根的分布，考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．