Question

（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點和點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點在橢圓上，為橢圓的左焦點，直線的方程為.

（i）求證：直線與橢圓有唯一的公共點；

（ii）若點關(guān)于直線的對稱點為，探索：當(dāng)點在橢圓上運動時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）定點坐標(biāo)為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，將和點分別代入橢圓方程，即可得到關(guān)于，的方程組：，，從而可以解得，，即橢圓的方程為；（2）（ii）分析題意可知，要證直線與橢圓只有一個公共點，等價于將直線方程與橢圓方程聯(lián)立所得的方程組只有唯一的解，因此考慮將方程聯(lián)立，化簡變形可得，易知其，從而得證；（ii）由題意可知為線段的中垂線，因此利用線段與直線垂直以及線段的中點在直線上可求得點的坐標(biāo)為，以下需分類討論列出直線的解析式：當(dāng)時，直線的斜率，直線的方程為，即，直線過定點，當(dāng)時，，此時，直線過點，即可證明直線恒過定點.

試題解析：（1）∵，且，∴，，∴橢圓的方程為.

（2）（i）聯(lián)立方程組，整理為…①，

∵在橢圓上，∴，即，∴方程①為，即，∴直線與橢圓有唯一的公共點； （ii）∵，∴過點且與垂直的直線方程為，

∵聯(lián)立方程組，∴，∵，且，∴點坐標(biāo)為，當(dāng)時，直線的斜率，

∵直線的方程為，即，∴直線過定點，

當(dāng)時，，此時，直線過點，綜上所述，直線過定點．

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.直線中的對稱問題.