Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=6，側(cè)棱AA₁=4，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EFG∥平面B₁CD₁；
（2）求異面直線EF與B₁C間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出GE∥D₁C，GF∥B₁C，所以平面EFG∥平面B₁CD₁．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線EF與B₁C間的距離．

解答： （1）證明：如圖，∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，AA₁的中點(diǎn)，
∴GE∥A₁B，又A₁B∥D₁C，∴GE∥D₁C，
GF∥A₁D，又A₁D∥B₁C，∴GF∥B₁C，
∵GE∩GF=G，∴平面EFG∥平面B₁CD₁．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=AD=6，側(cè)棱AA₁=4，
∴E（6，3，0），F(xiàn)（3，0，0），

EF

=(-3，-3，0)，
B₁（6，6，4），C（0，6，0），

B1C

=(-6，0，-4)，
設(shè)

EF

，

B1C

的公共法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • EF =-3x-3y=0 n • B1C =-6x-4z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-

3

2

），
∵

FC

=(-3，6，0)，
∴異面直線EF與B₁C間的距離d=

| FC • n |

| n |

=

|-3-6|

1+1+ 9 4

=

18 17

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查異面直線間的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．