【題目】如圖, 為坐標原點,橢圓 的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線 的左右焦點分別為,離心率為,已知,.

(1)的方程;

(2)點作的不垂直于軸的弦, 的中點,當直線交于兩點時,求四邊形面積的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目即可得到之間的兩個方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.

(2)利用(1)求出焦點的坐標,設(shè)出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.

(1)由題可得,,因為,,所以 ,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.

(2)(1)可得,因為直線不垂直于,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,,,,因為在直線,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得 ,,,設(shè)點到直線的距離為,到直線的距離也為,,因為在直線的兩端,所以,

,又因為在直線,所以 ,

則四邊形面積,因為,所以當,四邊形面積的最小值為.

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B.可由函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個單位得到
C.可由函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個單位得到
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