Question

【題目】已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0}，Q={x∈R|（x+1）（x2+3x-4）=0}．

（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；

（2）若PQ，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）（，+∞）

【解析】

（1）由于集合Q={-1，1，-4}，當(dāng)b=4時(shí)，集合P=，再由 PMQ可得，M是Q的非空子集，從而得到M．

（2）當(dāng)P=，△=9-4b＜0時(shí)，有．當(dāng)P≠，方程x2-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)，把x=-1，1，-4代入檢驗(yàn)，由此得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x2+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，

當(dāng)b=4時(shí)，集合P=，再由P MQ可得，M是Q的非空子集．

共有23-1=7 個(gè)，分別為{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．

（2）∵PQ，對(duì)于方程x2-3x+b=0，

當(dāng)P=，△=9-4b＜0時(shí)，有b＞，

△=9-4b≥0時(shí)，P≠，方程x2-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)．

若-1是方程x2-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=-4，此時(shí)P={-1，4}，不滿足PQ，故舍去．

若1是方程x2-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=2，此時(shí)P={1，2}，不滿足PQ，故舍去．

若-4是方程x2-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=2，此時(shí)P={-1，4}，不滿足PQ，故舍去．

綜上可得，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（，+∞）．