Question

13．已知橢圓與雙曲線有公共的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，設(shè)橢圓，雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₂-e₁的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=$\frac{m}{2}$+c，a₂=$\frac{m}{2}$-c，（c＜$\frac{m}{2}$），運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，
即有n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=$\frac{m}{2}$+c，a₂=$\frac{m}{2}$-c，（c＜$\frac{m}{2}$），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞m，
可得c＞$\frac{m}{4}$，即有$\frac{m}{4}$＜c＜$\frac{m}{2}$．
由離心率公式可得e₂-e₁=$\frac{c}{{a}_{2}}$-$\frac{c}{{a}_{1}}$
=$\frac{c}{\frac{m}{2}-c}$-$\frac{c}{\frac{m}{2}+c}$=$\frac{2{c}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{4}-{c}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{{m}^{2}}{4{c}^{2}}-1}$，
由$\frac{m}{4}$＜c＜$\frac{m}{2}$，可得4＜$\frac{{m}^{2}}{{c}^{2}}$＜16，
即有e₂-e₁＞$\frac{2}{16×\frac{1}{4}-1}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：（$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．