Question

在△ABC中，給出下列結(jié)論，其中正確的命題個數(shù)是

 

．
（1）若A，B，C成等差數(shù)列，則∠B等于

π

3

；
（2）若A，B，C成等比數(shù)列，則∠B的最大值是

π

3

；
（3）若a，b，c成等比數(shù)列，則∠B的最大值是

π

3

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：對于（1），由等差中項的概念結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π加以判斷；
對于（2），由等比數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π加以判斷；
對于（3），由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合余弦定理求出∠B的最大值加以判斷．

解答： 解：在△ABC中，
（1）若A，B，C成等差數(shù)列，則A+C=2B，
由A+B+C=3B=π，得∠B等于

π

3

，命題（1）正確；
（2）若A，B，C成等比數(shù)列，則AC=B²．
π=A+B+C≥B+2

AC

=B+2

B2

=3B，B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，命題（2）正確；
（3）若a，b，c成等比數(shù)列，則b²=ac，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-b2

2ac

=

b2

2b2

=

1

2

．
∵0＜B＜π，函數(shù)y=cosx在（0，π）上為減函數(shù)，
∴B≤

π

3

．
∠B的最大值是

π

3

，命題（3）正確．
∴正確的命題個數(shù)是3．
故答案為：3．

點評：本題考查命題的真假判斷與運用，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了基本不等式和余弦定理的用法，是中檔題．